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標題: 高中極限與微積分4 [打印本頁]

作者: ivan7230 時間: 2017-5-23 01:53 PM 標題: 高中極限與微積分4

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作者: joebin 時間: 2017-5-28 10:54 AM

羅畢達定理，分數的極限 = 分子分母一起微分後的極限

2.
由於(1)在x = 1有極小值-4，所以f(x)的微分必有一根為1
假設f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d
f'(x) = 3ax^2 + 2bx + c = 3a(x - Q)(x - 1)，Q為另一根
(2)羅畢達定理，因此得知3ax^2 + 2bx + c = -3，c = -3
得到3ax^2 + 2bx -3 = 3a(x + 3/a)(x - 1)
這題應該還有其他提示，不然無法算出解答來
從答案去推應該有個最大值在x = -1/5之類的提示
因為答案的微分為15x^2 - 12x - 3 = 3(5x + 1)(x - 1)

3.
假設高維h，半徑為r，則表面積為2pi * r^2 + 2pi * r * h = 18pi
左右兩式同除2pi和移項得到rh = 9 - r^2，h = (9 - r^2)/ r
圓柱體積公式為h * pi * r^2 = pi * r(9 - r^2) = -pi * r^3 + 9pi * r
其極值發生在微分=0處，所以-3pi * r^2 + 9pi = 0，r = 正負根號3(負不合)
代r = 根號3進體積公式，得到pi(-3根號3 + 9根號3) = 6根號3 * pi

4.
設f(x) = 3x^4 - 4mx^3 + 16，先微分找切線
f'(x) = 12x^3 - 12mx^2 = 0 = 12x^2(x - m) ，x = m的時後折返
由於f(x)無實根且f(0) = 16 > 0，所以從勘根定理得知
f(m) = 3m^4 - 4m^4 + 16 > 0
m^4 < 16，m的範圍為 -2 < m < 2

5.
過點P與Γ相切的直線g(x)斜率為Γ(x)的微 = 3x^2 - 18x + 15 = Γ'(x)
由於g(x)過P(0, a)，則g(x) = Γ'(x) + a，兩線相交的那一點Γ(x) = Γ'(x) + a
= x^3 - 9x^2 + 15x + 7 = 3x^2 - 18x + 15 + a，移項得到
x^3 - 12x^2 + 33x - 8 = (x - 8)(x^2 - 4x + x) = a，x要有三個解
把x代回Γ(x)可以得到a的區間

2.
(1)
設a = 2*積分f(x)從0到1，也就是f(x) = 2x^3 + 3x^2 + x + a
設f(x)的積分為g(x) = [1/2x^4 + x^3 + 1/2x^2 + ax + c]
a = 2*[g(1) - g(0)] = 2*[2 + a]，a = -4
所以f(x) = 2x^3 + 3x^2 + x - 4
(2)
同(1)的做法，只是從2到x的積分代換為ax + b

作者: ivan7230 時間: 2017-5-28 08:38 PM

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